Erki Laur, 1976 yılında Tallinn, Estonya'da doğdu. Oyunculuk eğitimini Estonya Müzik ve Tiyatro Akademisi'nde tamamlayan Laur, 1998 yılında mezun oldu. Kariyerine Estonya'nın önde gelen avangart topluluklarından biri olan Von Krahl Tiyatrosu'nda başladı ve burada yer aldığı yenilikçi oyunlarla sahne disiplinini ve oyunculuk tekniğini geliştirme fırsatı buldu. 2008 yılına kadar bu tiyatroda çalışan Laur, daha sonra serbest oyuncu olarak çeşitli tiyatrolarda sahne aldı.
Laur, sinema ve televizyonda da pek çok farklı karakteri canlandırdı. Kariyerinin erken dönemlerinde "Nimed marmortahvlil" (2002) gibi tarihi filmlerde ve popüler suç dizisi "Kelgukoerad"da rol aldı. Ancak onu daha geniş bir izleyici kitlesine tanıtan proje, İlmar Raag'ın ödüllü filmi "Klass"ın olaylarını takip eden ve karakterlerin sonraki yaşamlarına odaklanan "Klass: Elu pärast" (2010) dizisi oldu. Laur, 2018 yapımı "Pank" (The Bank) dizisinde Allan karakterini canlandırarak uluslararası alanda dikkat çekti. Bu dizide, 90'lı yıllarda Demir Perde'nin yıkılmasının ardından Estonya'daki bankacılık sektörünün vahşi yükselişini konu alan gerçek olaylara dayanan bir hikâyeyi anlattı. Laur'un bu performansı, kariyerinde önemli bir yer tutmaktadır.