Mehmet Özgür, 30 Ağustos 1970 tarihinde Antalya'nın Korkuteli ilçesinde dünyaya geldi. Çocukluğundan itibaren tiyatroyla ilgilenen Özgür, Antalya Devlet Tiyatrosu'nda oyunculuk kariyerine başladı. 1990'ların başında İstanbul'a taşınan sanatçı, burada birçok televizyon dizisinde ve filmde rol aldı.
Özgür'un en ünlü rollerinden bazıları, "Çemberimde Gül Oya" (1995), "Yasamayacaksin" (1998) ve "Aşk-ı Memnu" (2008) televizyon dizileri ve "Kurbağalar" (2003) ve "Güneşin Oğlu" (2009) filmleridir. Özellikle "Aşk-ı Memnu" dizisindeki "Şevket Bey" karakteriyle öne çıkan Özgür, 2009 yılında "En İyi Erkek Oyuncu" dalında Altın Kelebek Ödülü kazandı.
Mehmet Özgür'un oyunculuk kariyeri dışında yönetmenlik de yapmaktadır. "Kurbağalar" ve "Güneşin Oğlu" filmlerinin yanı sıra "Ask Sana Benli" (2010) ve "Aşk Yeniden" (2015) dizilerinin de yönetmenliğini yapmıştır. Özgür'un son dönemdeki projeleri arasında "Içerde" (2016-2017) dizisi ve "Ada Masalı" (2020) televizyon filmi bulunmaktadır.