Alex Sharp, 1989 yılında Londra'nın Westminster bölgesinde dünyaya geldi. Genç yaşta tiyatroya olan ilgisiyle oyunculuk kariyerine adım attı. Üniversite yıllarında drama bölümünde eğitim gördü. Daha sonra Londra'daki Royal Academy of Dramatic Art'nda (RADA) oyunculuk eğitimi aldı. Bu eğitimle ilham alan Sharp, ilk adımlarını tiyatro sahnesinde attı. Ayrıca, ünlü teyzesi Vanessa Redgrave'in oyunculuk kariyerine olan etki de Sharp'ın kariyerine katkıda bulundu.

Sharp'ın en dikkat çekici rolü, 2017 yılında vizyona giren "The Starry Night" filmindeydi. Bu filmde canlandırdığı boyutlu karakter, onun oyunculuğunun derinliğini ve yeteneğini gösterdi.